Hier wirken Kräfte

Wenn ein Gegenstand sinkt oder fällt, dann gibt es eine Kraft, die ihn sinken oder fallen lässt. Sie nennt man Schwerkraft und ist im Bild unten rechts durch einen blauen zum Boden (etwa zum Mittelpunkt der Erde) zeigenden Pfeil symbolisiert.

Wenn ein Gegenstand nicht sinkt oder fällt, dann gibt es demzufolge auch eine Kraft, die ihn schweben oder steigen lässt. Sie nennt man Auftriebskraft (oder kurz Auftrieb und ist im Bild rechts durch einen dem blauen entgegen gerichteten roten Pfeil symbolisiert.

Steigen, sinken, schweben

Ob ein Gegenstand steigt, sinkt oder schwebt hängt vom Vergleich der Schwer- und Auftriebskraft ab.

Im Bild unten links wird die Größe der Kraft durch die Länge des Pfeiles symbolisiert.

Der Gegenstand

- steigt, wenn der Auftrieb größer als die Schwerkraft ist,

- sinkt, wenn der Auftrieb kleiner als die Schwerkraft ist, und
- schwebt, wenn Auftrieb und Schwerkraft gleich groß sind.

Die Experimente mit den Heißluftballons haben gezeigt:

- Ist die Luft im Ballon nicht warm genug, dann sinkt er.

- Ist die Luft im Ballon warm genug, dann steigt er.

- Das Bild rechts zeigt, dass es dazwischen eine Lufttemperatur gibt, so dass ein Heißluftballon nahezu schwebt.

- Ist der Ballon zu klein, dann steigt er nicht, egal wie heiß die Luft ist.

- Je kälter die Außentemperatur, desto besser steigt er.

Ob der Ballon steigt, sinkt oder schwebt hängt demzufolge von der Außen- und Innentemperatur der Luft und seiner Größe (also seines Volumens bzw. der Menge an Seidenpapier und Tesafilm) ab.

Rechnen

Um sicher zu stellen, dass ein Heißluftballon am Ende aufsteigt (er sollte deshalb nicht zu klein sein - aber auch nicht zu groß, denn dann würde er ja unnötig teuer!) kann man berechnen, wie groß er dafür sein muss.

Archimedes (genauer: Archimedes von Syrakus) soll als erster die Grundlage hierfür heraus gefunden haben:

Der Auftrieb eines Körpers ist genau so groß wie das Gewicht des Gases oder der Flüssigkeit, die der Körper verdrängt.

Auftrieb

So wie beim Eintauchen eines Balles in Wasser verdrängt auch der Heißluftballon Luft. Also benötigen wir das Gewicht der von ihm verdrängten Luft. Was Luft wiegt kann man selber relativ einfach experimentell bestimmen oder man recherchiert (etwa hier), dass Luft bei 15°C etwa 1200 Gramm pro m³wiegt. Könnte man das Volumen V des Heißluftballons (in m³) berechnen, dann wiegt die vom Heißluftballon verdrängte Luft etwa

1200·V Gramm

Schwerkraft

Luft, die man im Heißluftballon erwärmt dehnt sich aus. Bei gleichem Volumen enthält warme Luft also weniger Moleküle als kalte Luft. Das kann man wiegen: Heiße Luft ist pro m³ etwa 100g leichter als kalte Luft. Die heiße Luft im Ballon wiegt demzufolge 1100·V. Die Ballonhülle wiegt aber auch etwas, da sie aus Seidenpapier und Tesafilm besteht, was zusammen etwa 25 Gramm pro m²wiegt (dass muss man jeweils den Verpackungsdaten entnehmen). Könnte man die Oberfläche O des Heißluftballons (in m²) berechnen, dann wiegt seine Hülle 25·O Gramm und der mit warmer Luft gefüllte Ballon insgesamt

1100·V+25·O Gramm

Vereinfachen

Wie das Bild rechts zeigt, schwebt der Ballon, wenn Schwerkraft und Auftrieb gleich groß sind, wenn also

1200·V = 1100·V + 25·O

oder (einfacher)

100·V = 25·O

gilt.

Wenn der Ballon in etwa der Form eines Würfels entspricht, kann man die Volumen- und Oberflächenformel für V und O des Würfels mit gegebener Kantenlänge k nutzen:

V = k³

O = 6 · k²

Damit ein Ballon schwebt muss also gelten

1200 · k³ = 1100 · k³ + 25 · 6 · k²

oder (einfacher)

100 · k³ = 25 · 6 · k²

Damit der Ballon steigt muss man jetzt für k eine Zahl finden, so dass der Auftrieb (also die linke Seite der Gleichung bzw. die Länge des roten Pfeils) größer als die Schwerkraft (also die rechte Seite der Gleichung bzw. die länge des blauen Pfeils) ist.

Wenn der Ballon jedoch eher der Form einer Kugel entspricht, kann man die Volumen- und Oberflächenformel für V und O nutzen:

V = 4/3 · π · r³

O = 4 · π · r²

Damit ein Ballon schwebt muss also gelten

1200 · 4/3 · π · r³ = 1100 · 4/3 · π · r³ + 25 · 4 · π · r²

oder (einfacher)

100 · 4/3 · π · r³ = 25 · 4 · π · r²

Und das ist die Formel von der ersten Seite zu diesem Thema :-)