Die 1.Idee des Beweises

Zuerst wird geklärt, von welchen Faktoren die "Bogenform" der Binomialverteilung abhängt. Dafür hilft die folgende kurze Rechnung:

Für \(p=\frac{1}{2}\) gilt\[{{P}_{n,\,\frac{1}{2}}}(k)=\left( \begin{matrix}n\\k\\\end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-k}}=\left( \begin{matrix}n\\k\\\end{matrix} \right)\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\]Der Faktor \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\) ist unabhängig von k und kann somit keinen Einfluss auf die „Bogenform“ der Binomialverteilung haben.

Also muss der Binomialkoeffizient \(\left( \begin{matrix}n\\k\\\end{matrix} \right)\) dafür verantwortlich sein. Das kann man gut am Pascal'schen Dreieck erkennen:

Die Werte in den Zeilen werden wie bei der Binomialverteilung erst größer und anschließend symmetrisch kleiner. Das was man jetzt anschaulich beobachtet hat, kann man auch rechnerisch untersuchen:

 

Mit der „Zeilen-Formel“\[\left(\begin{matrix}n\\k+1\\\end{matrix}\right)=\frac{n-k}{k+1}\left(\begin{matrix}n\\k\\\end{matrix}\right)\]kann der Binomialkoeffizient an der Stelle k+1 aus dem Binomialkoeffizienten an der Stelle k (rekursiv) berechnet werden (eigentlich müsste die „Zeilen-Formel“ hier mit vollständiger Induktion begründet werden - darauf wird hier der besseren Übersicht halber verzichtet).

 

Wie funktioniert die "Zeilen-Formel"?

Beispiel:

In Zeile 5 (n=4) erhält man ausgehend vom Randwert 1 (k=0) den zweiten Wert 4 (k=1) durch \[\left(\begin{matrix}4\\1\\\end{matrix}\right)=\frac{4-0}{0+1}\left(\begin{matrix}4\\0\\\end{matrix}\right)=\frac{4}{1}\cdot 1=4\]Den dritten Wert 6 (k=2) erhält man durch \[\left(\begin{matrix}4\\2\\\end{matrix}\right)=\frac{4-1}{1+1}\left(\begin{matrix}4\\1\\\end{matrix} \right)=\frac{3}{2}\cdot 4=6\]

 

Wichtig ist, dass mit der Zeilenformel die Zu- oder Abnahme der Binomialkoeffizienten von der Stelle k zur Stelle k+1 berechnet werden kann. Die Untersuchung von Zu- und Abnahmen ist die Idee der Differentialrechnung. Im Folgenden wird deshalb versucht mit der Zeilenformel einen Differentialquotienten zu bilden, damit die Ableitung der gesuchten Funktion zu bilden, um dann mit der Ableitung Rückschlüsse auf die Funktion selber ziehen zu können.